Неприводимые многочлены над полем рациональных и целых чисел

Многочлен называется **неприводимым**, если он не может быть представлен произведением двух многочленов меньшей степени.

Пусть $f \in \mathbb{Z}[x]$. Тогда $f$ неприводим над $\mathbb{Z}$ $\iff$ он неприводим над $\mathbb{Q}$

$\Large\implies$ От противного: пусть $f$ неприводим над $\mathbb{Z}$, но приводим над $\mathbb{Q}$ То есть: $$f = g_{1}h_{1} \qquad g_{1}, h_{1} \in Q[x] \qquad 0 < \deg g_{1}, \deg h_{1} < \deg f$$ Представим $g_{1}$ и $h_{1}$ по свойству примитивных: $$g_1 = \dfrac{a}{b} g_0, \quad h_1 = \dfrac{c}{d} h_0$$ где $g_0, h_0 \in \mathbb{Z}[x]$ примитивны. Тогда: $$f = \dfrac{ac}{bd} g_0 h_0$$ По лемме Гаусса $g_0 h_0$ примитивен. Так как $f \in \mathbb{Z}[x]$, $\dfrac{ac}{bd} = q \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $f = q g_0 h_0$ — разложение в $\mathbb{Z}[x]$. Противоречие. $\Large\impliedby$ Если $f$ неприводим над $\mathbb{Q}$, то он неприводим над $\mathbb{Z}$, так как $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. $\square$